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レイヤーがズレた話してますよね

それって「どういう必要性があってそのような定義を捻出したのか」というある意味メタなレイヤーの話であって (たとえばそうでない定義もできるかもしれない)、具体的な定義対象のことそのものについての理解に直結しているとは限らないと思うんですが

定義に「どうしてそうなるのか」を問う意義をわかっているのかかなり疑問に思っています

円周率を “知っている” とするためにまず大事なのは「円周率の定義を把握している」ことであって、そのうえに「円周率が都合よく使える場面をいくらか認識している」などがあるけど、それは円周率を計算できるかどうかとは別の話ですよね

再発明ってのはどのくらいの話なんですかね。たとえばある公理系を『再発明』するというのは公理を列挙できればよい？ それともそれ以上やそれ以下？

定義のわからない言葉でラベリングされても困るんですが

だからその「暗記」とは何なのかを説明してほしいんですが……

三つ目の論点として、円周率が正しいことを (その性質を利用して) 検証するのと、円周率そのものを導出するのは、問題としての難度が全然違いますよね。

たとえば 7194667284607936697938603328569 の最小の素因数を求めるのと、 7194667284607936697938603328569 の最小の素因数が 2031443 であることを検証できることは全然違う。

二つ目の論点として、 “たとえば” 円周率は実際のところ具体的な値よりもその性質の方こそが利用されているのであって (具体的な値は計算の過程で発生する定数にすぎない)、その値を求める計算自体に本質的な重要性や価値があるとは限らないですよね。

まず一つ目の論点として、「円周率を求めるひとつの方法を再発明できたとして、そこに基礎としてどれだけの価値があるか？」という話がある。
その方法が円周率の値を求めること以外に応用できないのであれば、可能な知的行動の範囲は円周率の値を最初から知っている場合と大差なくないですか？

これは問題の非対称性を無視してますよね

ほんまか？

基礎の部分を暗記するうえで「応用」が利くかというのは割と重要な基準で (というか応用できてこその基礎なので)、じゃあ例えばそこで想定される「円周率を求めるアルゴリズム」は円周率以外のさまざまな値を求めるために応用可能なんですか？ という基準が抜けている。

それは例としておかしいと思います