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ＥＭＡＮの物理学・物理数学・フーリエ級数の基本
https://eman-physics.net/math/fourier01.html

クロネッカーのδは、積分と三角関数で表現できる

クロネッカーのデルタ - Wikipedia
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF

こっちは別のδ関数で、等号比較の結果を0か1で返してくれる概念です

不連続で都合のよい関数、いろいろな場所で使われがちだからなぁ

これがまあ「それぞれの時点を起点とした信号を重ねる」というコアの部分の概念を図とうまい説明で与えられると、そりゃもう定義の数式そのまんまだったので、理解できない方が不思議じゃんという気持ちにさえなってしまって

特定の時間が起点となる信号をそれぞれの時点について計算して重ね合わせるのが畳み込みで、ある時点でのあらゆる信号について、後から発生した信号ほど起点からの経過時間が少なく、よって起点の時間と起点からの経過時間が逆符号になるという、それだけの話なんですが

いや、その手法で計算するためにはシステムが線形である必要があるのか。
線形システムが有り難がられるゆえん？

あーそうだ、インパルス応答を畳み込み積分とかにかけてやると任意の入力信号に対するシステムの出力を再現できるんだっけ？
もう完全に忘却の彼方だわ

入力x（と定数）を加減乗除して得られるものは(1変数)有理関数と言ってまあ変な関数は出てこないですね

ＥＭＡＮの物理学・物理数学・超関数のフーリエ変換
https://eman-physics.net/math/fourier07.html

> つまり、あらゆる波長の波が均等に混じり合ったものがデルタ関数であるというようなイメージである。

これが肝で、よーするにインパルス応答は「すべての周波数信号を同時に均等に与えたときの各周波数に対する応答を全部重ね合わせたもの」といえるのでいろいろ有用らしい

ところで初等関数ではないと考える根拠、「初等関数ならすべての点で微分可能」だろうからそうでないものは初等関数ではなさそうみたいな雑な推論 (なお初等関数の正確な定義は忘れた (は？))

で、λ計算を理論的裏付けとして関数型言語が発明されているので、これはもう関数型言語や現代のマルチパラダイム言語を使う上での教養と言っても過言ではない

ところで一方、数学においても「アルゴリズム」を扱うことはあるわけで、その辺りを “通常の” 関数と同じように表現できないかみたいな発想は当然生まれるわけです。
そのひとつの帰結がラムダ計算とかなので、これは計算論を学ぶチャンスですよ

関数一覧 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7

ＥＭＡＮの物理学・物理数学・デルタ関数
https://eman-physics.net/math/delta_func.html

たぶん orange 氏が欲しいのはδ関数とか階段関数相当のものだと思うんだけど、これは初等関数ではないと思うし多分無理