あ、動いた。やっぱりjsonでいいらしい。API Gatewayからlambdaにつなぐところの「統合リクエスト」で指定するマッピングテンプレートは、APIGatewayがContent-Type:application/x-www-form-urlencodedで送ってくるとしても、application/jsonになるらしい。参考にしたQiitaが間違ってた。