@orange_in_space 多分この違いについて考えるには超有理数を導入するのがよさそうですね。移行原理は一般の一階の理論に使えるので、実数だけではなく有理数についても同じような構成を考えることができます。
すると、これはCauchy列風の実数の構成との対応関係があることが知られています。
https://math.stackexchange.com/questions/2626149/applying-ultrapower-construction-to-the-field-mathbb-q-of-rationals

@orange_in_space 具体的には超有理数のうち有限なものを、無限小の差異を同一視することで実数が得られます。
で、これはじゃあ一体何をしているのかというと、多分「収束途中の動き方」という情報を削ぎ落としているのだと解釈すればいいのではないかと思います。上から収束するのと下から収束するのは無限小としては異なるものですが、収束値としては同じものです。

@orange_in_space つまりはじめに有理数から実数を構成するときは単に収束先にのみ興味があるので収束挙動は無視していて、実数から超実数を構成するときは無限小が欲しいので収束挙動を残したまま構成しているわけです。そしてこの2つは似たようなステップの繰り返しではありますが、あえて2回に分けているので、無理数がどうのという議論を2回目の構成に持ち込んでも意味をなさないというわけです。